Exercício Resolvido 4

Esta é a resolução do Exercício 211, que trata sobre inequações, do volume 1 da coletânea Fundamentos de Matemática Elementar, de Gelson Iezzi e Carlos Murakami.

Livro: Fundamentos de Matemática Elementar

Autores: Gelson Iezzi; Carlos Murakami

Edição/volume: 8ª edição/volume 1

Exercício: 211

211. Resolva, em R, as inequações:

a) b) c)

Solução

a) Primeiramente, vamos passar todos os membros para a esquerda da desigualdade, ou seja, encontrar a inequação equivalente:

Agora, devemos reduzir ao mesmo denominador. Eu costumo isolar a soma do termo que tem fração com o que não tem fração (no caso, ) e resolver isso à parte para depois voltar à inequação. É a mesma coisa, é apenas a forma como organizo no papel:

O resultado é uma nova fração com o mínimo múltiplo comum (mmc) dos dois termos no denominador. O mmc entre 1-x e 1 é 1-x.

O outro passo da soma (formar o numerador) é dividir o mmc pelo denominador de cada termo e multiplicar o resultado pelo numerador de cada termo. Esse será o denominador do resultado da soma:

Agora, voltando à inequação:

Já que a fração deve ser menor ou igual a 0, a fração deve ter resultado não positivo, como o numerador é positivo, pela regra dos sinais, o denominador precisa ser menor que 0. Então:

Quando multiplicamos esse ponto da inequação por -1 para termos x positivo, o sinal da inequação também inverte:

Temos, então, S = {x R | x > 1}.

b) Novamente, vamos passar todos os membros para a esquerda da desigualdade, ou seja, encontrar a inequação equivalente:

Vamos reduzir o denominador. Novamente, vou fazer esse processo separadamente:

O mmc entre 2x - 1 e 1 é 2x – 1, esse é o denominador:

Dividindo ele por cada denominador das outras frações e, em seguida, multiplicando os resultados pelos seus respectivos numeradores:

Voltando à inequação:

Nesse caso, como a inequação precisa ter resultado maior ou igual a 0 e o numerador já é negativo, devemos estabelecer que o denominador seja menor que 0 para que, pela regra dos sinais, o resultado final seja de fato maior ou igual a zero.

Temos S = {x R | x < 1/2}.

c) Novamente começamos passando todos os elementos para a esquerda da desigualdade:

Agora a soma:

Primeiro, achando o mmc entre 1 e 3x + 2 e colocando-o como denominador:

Para o numerador: dividindo o mmc por cada denominador da soma, e multiplicando cada resultado por cada numerador:

Voltando à inequação:

O resultado da fração deve ser menor que zero. Como o numerador já é negativo, o denominador deve ser positivo para que realmente haja um resultado menor que zero, já que se fossem ambos, numerador e denominador, negativos o resultado seria positivo (maior que zero) pela regra dos sinais. Então:

Resposta: S = {x R | x > -2/3}.